泊松分佈（Poisson Distribution）

假設某研究員平均每三年可以發表5篇期刊論文，那麼此研究員三年發表不到5篇的可能性為何？首先，我們列出剛好發表0, 1, 2, 3, 4篇論文的可能性：

• 0篇：$ P\left ( 0, 5  \right )=\frac{e^{-5} 5^{0}}{0!} \approx  0.006737947 \approx 0.67\% $
• 1篇：$ P\left ( 1, 5  \right )=\frac{e^{-5} 5^{1}}{1!} \approx  0.03368973 \approx 3.37\% $
• 2篇：$ P\left ( 2, 5  \right )=\frac{e^{-5} 5^{2}}{2!} \approx  0.08422434 \approx 8.42\% $
• 3篇：$ P\left ( 3, 5  \right )=\frac{e^{-5} 5^{3}}{3!} \approx 0.1403739 \approx 14.04\% $
• 4篇：$ P\left ( 4, 5  \right )=\frac{e^{-5} 5^{4}}{4!} \approx 0.1754674 \approx 17.55\% $

也就是說即使有平均三年出5篇的實力，但實際上三年出不到5篇論文的可能性會是 (0.67+3.37+8.42+14.04+17.55) ≈ 44.05%，將近一半的機率達不到唷～

上述計算方式參考Stat Trek上的文章《Poisson Distribution》
泊松分佈（Poisson Distribution）是泊松試驗（Poisson experiment）所得結果的機率分佈。所謂的泊松試驗，包含下面幾個特性：

1. 試驗的結果只分成“成功”與“失敗”（successes or failures）
2. 在一個特定的區間（可以是時間、也可以是空間），已知平均成功的數目（average number of successes, λ）
3. 出現成功的機率正比於區間的大小
4. 當區間非常小的時候，出現成功的機率是零

$$ P\left ( x, \lambda  \right )=\frac{e^{-\lambda} \lambda^{x}}{x!} $$
上面描述泊松分佈用到的符號的意義分別是：

• e：一個約莫是 2.718282 的常數，又稱歐拉數
• λ：特定區間內平均成功的數目
• x：特定區間內時間成功的數目
• P(x; λ)：給定λ，出現正好x次成功時的分佈

在R語言裡面，可以輸入下面的公式，得到最上面的結果
> p <- function(x, l) {return( exp(-l) * l^x / factorial(x) )}
> p(0,5)
[1] 0.006737947
> p(1,5)
[1] 0.03368973
> p(2,5)
[1] 0.08422434
> p(3,5)
[1] 0.1403739
> p(4,5)
[1] 0.1754674
> p(0,5)+p(1,5)+p(2,5)+p(3,5)+p(4,5)
[1] 0.4404933

> p(5,5)
[1] 0.1754674
> p(7,5)
[1] 0.1044449
> p(10,5)
[1] 0.01813279
> p(10,5)
[1] 0.01813279

_EOF_